Irisan dan Gabungan Dua Himpunan
1. Irisan dua Himpunan
Irisan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota - anggotanya merupakan anggota A sekaligus anggota B.
Irisan himpunan A dan B dinyatakan dengan notasi :
A ∩ B = { x | x ε A dan x ε B }
Contoh : S = { 1,2,3,4,5,6,7 }, A = { 1,2,3,4,5,6 } dan B = { 2,3,5,7 }
Diagram Vennnya :
A ∩ B = { 2,3,5 } merupakan anggota persekutuan antara himpunan A dan B. Himpunan A dan B saling berpotongan, dituls A = B.Dua himpunan yang tidak mempunyai irisan dikatakan saling lepas dan dinyatakan dengan notasi //
2. Gabungan dua himpunan
Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota - anggotanya merupakan anggota A saja, atau anggota B saja, atau anggota persekutuan A dan B
Gabungan himpunan A dan B dinyatakan dengan notasi
A U B = { x | x ε A atau x ε B }
Contoh
A = { 0,2,4,6,8 }
B = { 2,3,5,7 }
Diagram Vennya
A U B = { 0,2,3,4,5,6,7,8 }
Operasi-Operasi Himpunan
Jenis-jenis operasi yang sering digunakan pada himpunan yaitu operasi irisan, gabungan, komplemen, selisih, beda setangkup, dan perkalian.
a. Irisan
Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.
Notasi : A ∩ B = { x | x є A dan x є B }
Contoh :
Misalkan A = { ( x,y ) | ( x,y ) = ( 0,0 ), ( 0,1 ), ( 1,1 ) } dan B = { ( x,y ) | ( x,y ) = ( 1,1 ), ( 1,2 ), ( 2,1 ) }
Maka A ∩ B = { ( x,y ) | ( x,y ) = ( 1,1 ) }
b. Gabungan
Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.
Notasi : A U B = { x|x є A atau x є B }
Contoh :
Misalkan A = { x | 0 ≤ x ≤ 1 } dan B = { x | -1 ≤ x ≤ 2 }
Maka A U B = { x | -1 ≤ x ≤ 2 }
c. Komplemen
Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta S adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen S yang bukan elemen A.
Notasi : Ac = { x | x є S, x є A }, Diagram Venn untuk Ac ( daerah yang diarsir )
d. Selisih
Selisih dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B.
Notasi : A – B = { x | x є A dan x є B }
Contoh : Jika A = { 1,2,…,10 } dan B = { bilangan genap dari 1 – 10 }, maka A – B = { 1,3,5,7,9 } dan B – A = Ø
e. Beda Setangkup
Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.
Notasi : A + B = ( A + B ) – ( A + B ) = ( A – B ) + ( B – A )
Contoh :
Jika A = { 2,4,6 } dan B = { 2,3,5 } maka A + B = { 3,4,5,6 }
f. Perkalian Kartesian
Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.
Notasi : A X B = { ( a,b ) | a є A dan b є B }
Contoh :
Jika A = { 1,2,3 } dan B = { a,b } maka A X B = { ( 1,a ), ( 1,b ), ( 2,a ), ( 2,b ), ( 3,a ), ( 3,b ) }
HIMPUNAN
A. PENGERTIAN HIMPUNAN
1. PENGERTIAN HIMPUNAN MELALUI CONTOH
Himpunan adalah suatu kumpulan benda atau objek yang didefinisikan dengan jelas. Berikut ini beberapa contoh kumpulan :
a. kumpulan bilangan cacah yang kurang dari 10
b. kumpulan siswa kelas 1 SMA yang berambut lurus
c. kumpulan angka yang menarik
d. kumpulan siswa yang manis
Pada masing-masing kumpulan pada butir (a) dan (b) didefinisikan dengan jelas. Tetapi pada butir (c) dan (d) tidak didefinisikan dengan jelas. Dengan demikian, kumpulan pada butir (a) dan (b) disebut himpunan, sedangkan pada butir (c) dan (d) bukan himpunan.
2. MENGENAL LAMBANG SUATU HIMPUNAN
Suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf capital, misalnya A,B,C, dan D. Sedangkan unsur-unsur himpunan dinyatakan dalam tanda kurung kurawal buka dan tutup, serta dipisahkan dengan tanda koma.
Contoh :
A = { x | x adalah himpunan bilangan ganjil yang kurang dari 11 }
B = { x | x adalah himpunan bilangan asli }
B. ANGGOTA HIMPUNAN
1. PENGERTIAN ANGGOTA HIMPUNAN
A = { x | x adalah himpunan bilangan ganjil kurang dari 9 }
A = 1,3,5,7
Jadi, anggota himpunan A adalah anggota-anggota yang terkandung dalam kumpulan yang bersangkutan (1,3,5,7). Sedangkan, selain anggota-anggota itu (0,2,4,6,8,dst) bukan anggota-anggota himpunan A. Anggota himpunan disebut juga elemen atau unsure himpunan.
2. MENYATAKAN BAHWA SUATU OBJEK MERUPAKAN ANGGOTA SUATU HIMPUNAN ATAU BUKAN
Untuk menyatakan bahwa suatu objek merupakan anggota suatu himpunan digunakan symbol keanggotaan himpunan, yaitu “ Î “, sedangkan untuuk menyatakan bahwa suatu objek yang bukan merupakan anggota suatu himpunan digunakan symbol bukan keanggotaan himpunan yaitu “ Ï “.
3. BANYAKNYA ANGGOTA SUATU HIMPUNAN
Bilangan yang menyatakan banyaknya unsur pada himpunan A disebut bilangan kardinal. Himpunan A ditulis n (A). Jika himpunan A terdiri k buah unsur, maka n(A) = k artinya bilangan kardinal himpunan A adalah k, dengan k adalah bilangan cacah.
C. MENYATAKAN SUATU HIMPUNAN
1. CARA MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN KATA-KATA
Misalkan himpunan A dengan anggota-anggotanya 2,3,5, dan 7. Kita dapat menyatakan himpunan A dengan kata-kata, yaitu A = { himpunan empat bilangan prima pertama }, atau A = himpunan bilangan prima kurang dari 10.
2. CARA MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN NOTASI PEMBENTUK HIMPUNAN
Kita dapat menyatakan suatu himpunan dengan menyebutkan sifat unsur atau syarat keanggotaan himpunannya yang penyajiannya mempergunakan notasi pembentuk himpunan. Cara serupa ini dinamakan Cara Pencirian ( Metode Aturan atau Rule Method )
Contoh :
B = { x | x bilangan cacah }
Dibaca : B adalah himpunan semua n, sedemikian sehingga n adalah bilangan cacah.
3. CARA MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN MENDAFTAR
Cara menyatakan himpunan dengan mendaftar (mentabulasi) digunakan untuk menuliskan suatu himpunan dengan mendaftar atau menyebutkan semua unsur atau anggota yang termasuk dalam himpunan yang bersangkutan. Cara ini dinamakan cara mendaftar (metode daftar atau roster method). Jika kita menyatakan suatu himpunan dengan cara mendaftar, maka semua anggota dari himpunan ditulis diantara tanda kurung kurawal buka dan tutup, serta penulisan anggota yang satu dengan anggota yang lain dipisahkan oleh tanda koma.
A = himpunan bilangan bulat antara -3 dan 3.
A = {-2,-1,0,1,2}.
Dalam menyatakan himpunan dengan cara mendaftar, kita harus memperhatikan hal-hal berikut :
a. Dalam menuliskan anggotanya hanya anggota yang berbeda saja, artinya anggota yang muncul lebih dari satu kali hanya ditulis sekali saja.
Perhatikan kumpulan bilangan : 2,3,2,2,4,5,0,dan 5
Ditulis dengan cara A = {0,2,3,4,5}.
b. Dalam penulisan anggota suatu himpunan urutannya tidak diperhatikan, artinya letak masing-masing anggota boleh ditukarkan.
P = {1,2,3,4,5}. Dapat ditulis
P = {5,4,3,2,1}.
c. Apabila suatu himpunan yang jumlah anggotanya cukup banyak dan anggota- anggotanya memiliki urutan tertentu, digunakan tanda “…” (titik tiga).
HUKUM PADA ALJABAR HIMPUNAN
- Hukum Idempoten
- Hukum Asosiatif
(2.b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- Hukum Komutatif
- Hukum Distributif
(4.b) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
- Hukum Identitas
(6.a) A U U = U (6.b) A ∩ U = A
- Hukum Involusi
- Hukum Komplemen
(9.a) U’ = ø (9.b) O’ = U
- Hukum De Morgan
.
MACAM-MACAM HIMPUNAN
Ada beberapa macam himpunan diantaranya :
- Himpunan Kosong
Contoh :
P = { x | x adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 5x +10 = 0 }, maka n(P) = 0.
- Himpunan Bagian
Contoh :
Misalkan A = {1,2,3} dan B = {1,2,3,4,5}, maka A Ì B.
- Himpunan Yang Sama
Contoh :
Jika A = {a,b,c} dan B = {c,a,b} maka A = B
- Himpunan Yang Ekuivalen
Contoh :
Jika A = {1,2,3,4} dan B = {s,a,p,i} maka A ~ B sebab n(A) = n(B) = 4.
- Himpunan Saling Lepas
Contoh :
Jika A = { x | x є P, x < b = “ >” }
- Himpunan Kuasa
Contoh :
Jika A = {1,2}, maka P(A) = { {1},{2},{3} }.
- Himpunan Semesta
Contoh :
A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}
B = {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}
C = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}
D = {2,3,5,7,11}
E = {0,2,4,6}
Perhatikan setiap anggota himpunan A,B,C,D dan E
1. Apakah setiap anggota himpunan D ada di dalam himpunan A,B dan C ?
Setiap anggota himpunan D yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam himpunan A,B,C. Oleh karena itu himpunan A,B,C adalah Himpunan Semesta dari himpunan D.
2. Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A,B dan C ?
Setiap anggota Himpunan E yaitu 0,2,4,6 ada di dalam himpunan B dan C, tetapi angka 0 tidak ada di dalam himpunan A. Oleh karena itu himpunan B dan C merupakan Himpunan Semesta dari himpunan E, dan himpunan A bukan himpunan semesta dari E.
- Himpunan Denumerabel
Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh 2n.
A = {2,4,6,8,…}
- Himpunan Berhingga
- Himpunan Tercacah
- Himpunan Non-Denumerabel